题目
现有以电阻 r1=r2=r3=1Ωr1=r2=r3=1Ω 构成的一个无限长梯形网络(如图所示),求 a,ba,b 之间的等效电阻
常规解法
将 RabRab 去掉一个循环节的网络看作 R′abRab′ ,如下图所示.
根据电阻串并联的规律知 Rab=r1+r2R′abr2+R′ab+r3Rab=r1+r2Rab′r2+Rab′+r3 .
由于有无穷多节,相差一节对电阻的影响微乎其微(可看作是无穷小),因此 R′ab=RabRab′=Rab .
将 r1=r2=r3=1Ωr1=r2=r3=1Ω 代入后求得 Rab=1+√3 ΩRab=1+3 Ω .
常规解法的缺陷
常规解法虽然有一定道理,但使用“微乎其微”等形容词来描述不具有很强的说服力。另外,常规解法不能解决有限节梯形网络的问题,如果我们要求解的等效电阻并不是无穷多节的循环,而是有限节 nn 时的等效电阻,那么就不能使用常规解法来解决.
新型解法
我们不妨设这个梯形网络的节数为 nn ,此时 a,ba,b 之间的等效电阻为 Rab|nRab|n ,观察下列情况
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当 n=1n=1 时,Rab|n=1=r1+r2+r3Rab|n=1=r1+r2+r3
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当 n=2n=2 时,Rab|n=2=r1+r2Rab|n=1r2+Rab|n=1+r3Rab|n=2=r1+r2Rab|n=1r2+Rab|n=1+r3
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当 n=3n=3 时,Rab|n=3=r1+r2Rab|n=2r2+Rab|n=2+r3Rab|n=3=r1+r2Rab|n=2r2+Rab|n=2+r3
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……
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当 n=nn=n 时,Rab|n=r1+r2Rab|n−1r2+Rab|n−1+r3Rab|n=r1+r2Rab|n−1r2+Rab|n−1+r3
由此,我们发现了对于一般的 nn ,存在 Rab|nRab|n 与 Rab|n−1Rab|n−1 之间的递推关系式.
为简化计算,我们将 r1=r2=r3=1Ωr1=r2=r3=1Ω 代入,获得 Rab|nRab|n 与 Rab|n−1Rab|n−1 之间的常量递推关系,并写以数列形式.
设an=Rab|nan=Rab|n ,则an−1=Rab|n−1an−1=Rab|n−1 ,有 an=3an−1+2an−1+1 (n≥2)an=3an−1+2an−1+1 (n≥2) ,其中 a1=3a1=3 .
令 x=3x+2x+1x=3x+2x+1 ,即 x2−2x−2=0x2−2x−2=0 ,此方程存在两根 x1=1−√3, x2=1+√3x1=1−3, x2=1+3 .
由于 x1≠x2x1≠x2 ,有 an−x1an−x2=qan−1−x1an−1−x2an−x1an−x2=qan−1−x1an−1−x2 ,其中 q=3−x13−x2q=3−x13−x2 .
根据等比数列通项公式,知 an−x1an−x2=(3−x13−x2)n=(2+√3)2nan−x1an−x2=(3−x13−x2)n=(2+3)2n .
化简后求得 an=(2+√3)2n(1+√3)−(1−√3)(2+√3)2n−1 (n≥2)an=(2+3)2n(1+3)−(1−3)(2+3)2n−1 (n≥2) ,为 anan 的封闭表达式.
因此 Rab|n=an (Ω)Rab|n=an (Ω) ,取极限 Rab=limx→∞an (Ω)Rab=limx→∞an (Ω) 即为无穷多节梯形网络的等效电阻.
limx→∞an=limx→∞(2+√3)2n(1+√3)−(1−√3)(2+√3)2n−1=limx→∞1+√3−1−√3(2+√3)2n1−1(2+√3)2n=1+√3limx→∞an=limx→∞(2+3)2n(1+3)−(1−3)(2+3)2n−1=limx→∞1+3−1−3(2+3)2n1−1(2+3)2n=1+3 .
所以,对于有无穷多节的等效电阻 Rab=1+√3 ΩRab=1+3 Ω .